O Franji Duganu starijem (1874. – 1948.) pisano je u više navrata (i za vrijeme njegova života i nakon smrti). Osobito su zapaženi opširni osvrti na život i rad F. Dugana koje su napisali Janko Barle u časopisu Sveta Cecilija 1935. godine (na 19 stranica u 5. i 6. svesku, a Franjo Dugan je tada bio akademik JAZU-a) i akademik Anđelko Klobučar u časopisu Rad JAZU, knjiga 351, 1969. godine (na čak 76 stranica i opširnom bibliografijom, tada Klobučar još nije bio akademik). Akademik Klobučar dao je dosad najpotpuniji prikaz života i rada Franje Dugana kao glazbenika instrumentalista orguljaša, glazbenog kompozitora, glazbenog pedagoga i glazbenog pisca. Od korisnih poda­taka istaknuto je da je Dugan bio umirovljen 1941. godine nakon što je 44 godine pedagoški djelovao i radio. Međutim, manje je obrađena činjenica da je od te 44. godine Dugan čak 23 godine predavao matematiku i fiziku na gimnazijama. Klobučar je, uz ostalo spomenuo i Duganove skripte Nauka o muzičkim formama i Nauk o instrumentima, knjige Nauk o glazbalima i rukopis Akustika. O Franji Duganu je pisao i Viktor Novak u časopisu Zvuk 1933./34. na devet stranica. O njemu je još i pisao Anton Dobronić u časopisu Gospodarstvo na dvije stranice, 1944. godine. O Duganu je također pisao Krešimir Benič u časopisu Spremnost na tri stranice 1945. godine, te Josip Andrić u časopisu Obitelj iz 1944. go­dine na dvije stranice.

Od navedenog samo Nauk o glazba­lima i Akustika mogu dočarati svestra­nost Franje Dugana (kao akustičara). Stoga se prvi put uz korištenje ova dva djela i objelodanjivanjem dosad neobjavljenih biografskih podataka nastoji prikazati svestranost Franje Dugana (kao matematičara, fizičara i akustičara). Da bi se to što vjerodostoj­nije učinilo, prvo treba objasniti što se podrazumijeva pod akustikom da bi se stekao pravi dojam čime se bavi akustičar. Također treba istaknuti isprepletenost akustike s matemati­kom i fizikom. Vrlo je važno istaknuti ključnu ulogu Duganova sveučilišnog učitelja fizičara Vinka Dvoraka, svjet­ski uglednog akustičara.

O osvitu akustike – povijesni uvid

Za akustiku se zna da je u svojoj prvoj literarnoj pojavi ta grčka riječ (akustikos) imala strogo antropomorfno značenje i bila je povezana s ljudima, glazbom i instrumentima. Opće je poznato da je grčki filozof Pitagora (rođen u VI. st. prije Krista, umro u V. st. prije Krista) vršio praktična istraživanja s monokordom koji je vrlo nalikovao tadašnjim instrumentima. Stari Grci znali su da su zvuci titranja proizišli iz zraka, što se moglo osjetiti iz empirijskih pokušaja promatranja i doticanja s površinama koje titraju. Najveći grčki filozof Aris­totel (IV. st. prije Krista) smatrao je da tijelo koje titra izaziva zgušnjavanje i razrjeđivanje zraka i objasnio je refleksiju zvuka od predmeta. No, pokušaj­mo se u novovjekovnom smislu zapita­ti: što je akustika? Prije nego što se pokuša odgovoriti na to pitanje valja naglasiti da se akustika može shvatiti u širem i užem smislu riječi. No, pođimo od početka u smislu shvaćanja termina na novovjekovni način. U svom prvom ondašnjem smislu riječ akustika po­javila se prvi put 1657. godine kao naslov neke knjige, no u tadašnjoj riječi teško da ima ičega što bismo danas nazvali akustikom. Tek 1693. godine upotrijebio je Samuel Reyher (1635. – 1714.) riječ akustika u smislu koji je omeđen današnjim značenjem navedene riječi. Bilo je to u njegovu djelu “De natura et jure auditus soni”. No, Joseph Sauveur (1653. – 1716.) je riječ akustika 1701. godine utkao u suvremeni znanstveni jezik govoreći o tonovima glazbene ljestvice, te je tako tu riječ uveo i općenito u znanstvenu (matematičku) upotrebu. Njegovo djelo nosilo je naslov “Principes de acoustiqe et de musique”. J. Sauveur je, kojeg li neobičnog spleta okolnosti, bio od rođenja gluh, a do svoje sedme go­dine i nijem. No ipak je nekim čudom izvodio važna akustička istraživanja. Sauveur je prvi predložio ime akustika za znanost o zvuku, obratio je pažnju na prirodno izvođenje akorda dur ljest­vice iz temeljnog tona i osnovao glaz­beni nauk o harmoniji i usporednim tonovima. On je znanstvenim opisom matematičkog oblika pronašao način određivanja broja titraja nepoznatog tona, ako je poznat broj titraja drugog tona i broj titraja koji oba tona izvode kad zajedno zvuče.

I dan-danas se akustika može shva­titi u užem i širem smislu značenja riječi. Akustika u užem smislu je znanost koja proučava zakonitosti svih mogućih načina titranja najrazličitijih izvora zvuka, zračenje izvora i stvaranje zvučnog polja kao i mehanizmi širenja zvučnih (titrajnih) valova iz izvora kroz razna tijela koja djeluju kao materijalni mediji – čvrste tekuće ili plinovite tvari, kao nosioci zvuka do našeg uha ili nekog drugog prijemnog mjesta. Jasnoće radi treba istaknuti da je ono što se širi medijem titranje, a ono što se prenosi je titrajna ener­gija. Nekad se akustika definirala kao dio nauke (mehanike – koja je dio fizike) koja je proučavala titranje i mehaničke valove zvučnih frekvencija u raznim materijalnim medijima. To je posebno decidirano i znanstveno uokvireno podvukao i glasoviti Nobelovac lord Reyleigh u svom klasičnom djelu “The Theory of Sound”. Ovdje još valja spome­nuti da je akustiku kao samostalno znanstveno područje (ne kao dodatak mehanici) utvrdio Herman von Helmholtz u svojoj knjizi “Nauke o osjetima zvuka” iz 1862. godine. U svom širem smislu riječi riječ akustika podrazumijeva područja istraživanja, osim fizikalne akustike, glazbene akustike, tehničke akustike, fiziološke akustike, psihološke akus­tike itd. Akustika je po svojoj naravi interdisciplinarna, ali i multidisciplinarna zadirući u razne znanosti (fiziku, muzikologiju), nauke (npr. primijenjena elektrotehnika), znanosti o životu (biologija, medicina) i umjetnosti (govorne i glazbene).

Isprepletenost akustike, matematike i fizike

Da je glazba uvijek bila poticajna za akustiku opće je poznato budući da je napredak akustike bio povezan s glazbenim zahtjevima. No, da su matematika i fizika svojim napretkom poticale napredak akustike nije toliko očito i valja tome posvetiti malo pozornosti. Dakle, riječ je o tome koliko su matematičari i fizičari dali akustici izvan doprinosa samoj matematici i fizici. Dakle, Franjo Dugan dobro je poznat kao glazbenik. Vrlo je teško upoznati F. Dugana kao akustičara, ako ga se ne upozna kao matematičara i fizičara. Stoga se u ovom članku nas­toji prikazati Dugan kao akustičar uz uvažavanje njega kao matematičara i fizičara. Da bi se to što vjerodostoj­nije učinilo, treba ukazati na to kako je akustika povezana s matematikom i fizikom.

Veliki Galileo Galilei bio je taj koji je uočio da je broj titraja (frekvencija) odlučujuć čimbenik koji određuje vi­sinu tona. No, samo to nije bilo dovol­jno za pronalaženje matematičke veze između navedenih veličina. Marin Mersenne, veliki Galilejev poklonik, proučavao je slabo poznata Galilejeva istraživanja zvuka, ponavljao Pitagorina istraživanja i pokazao da visina tona ustitrale žice ima veze i s gustoćom materijala od kojeg je napravljena kao i s napetošću. Naposljetku je tek Taylor 1715. god. matematičkim izrazom postavio odnos između frekvencije, sile napetosti i dužne mase žice.

Godine 1605. Francis Bacon Verulanski je u svom djelu “Advancement of learning” istaknuo da se zvuk širi na sličan način kao svjetlost. Huygens je u predgovoru svoje knjige o svjetlu (Traite de la Lumiere, 1690.) tumačio da se zvuk širi valovima, a materija koju možemo vagati je medij u kojem se valovi šire. Za razliku od svjetla koje se širi valovito u eteru, a koje ne možemo vagati. Otto von Guericke, pronalazač pumpe koja isisava zrak, oko 1650. godine pokusima je dokazao da se zvukovi šire ne samo kroz zrak nego i kroz vodu i čvrsta tijela, unatoč Aristotelu. Athanasius Kircher (1601. – 1680.) u svom djelu “Phonurgia nova” opisao je zakone refleksije zvu­ka i jeku, te pretpostavio da je u svojoj biti sličan svjetlosti. Uz to, neposred­nim praktičnim uvidom znalo se da valovi zvuka imaju sposobnost da na tanku kožu ili membranu pritišću tla­kom, te je tako stavljaju u gibanje. Na taj način ponaša se i bubnjić u našem uhu. Već spomenuti J. Sauveur je također pokazao da je istinito to što je veliki Descartes pronicljivo naslutio. To je bila slutnja da sporednim tono­vima jedne zatitrale strune mora biti uzrok titranja jednoga njezina dijela. Spomenuti Marin Merssene (1588. – 1648.) u svom djelu “Harmonicorum libri XII” koje je izašlo u Parizu (1627. – 1637.) opisuje gornje tonove (Obertonove). Cristijan Huygens je u svojem djelu iz 1690. godine (Traite dela lumiere) pišući o svjetlu tumačio da se i zvuk širi valovito i to u obliku poremećaja koji se širi u svim smjerovima u obliku valova. Iznoseći svoj glasoviti princip naglasio je da je izvor taj koji stvara poremećaje, a svaka točka vala može se smatrati izvorom novog vala i poremećaja. Godine 1671. u istraživanju akustičknih pojava uve­dena je glazbena vilica, koju je uveo Shore.

Poseban problem akustike bio je i određivanje, tj. mjerenje brzine zvuka. Pierre Gassendi (1592. – 1655.) je čovjek koji je prvi uspio točnije izm­jeriti brzinu zvuka, ali i otkrio da se ta brzina ne mijenja u odnosu na iz­vor zvuka i visinu tona. Metodom topa brzinu zvuka prvi je odredio redovnik Mersenne, koji je inače bio prijatelj Descartesa, i to godine 1636. Liječnik Bianconi je u Bologni 1746. otkrio utjecaj temperature na brzinu zvuka te našao da je brzina zvuka ljeti veća nego zimi i on se služio meto­dom topa. Danas je poznato da se s pomoću Kundtove i Quinckove cijevi može točno mjeriti brzina zvuka.

Isaac Newton upotrijebio je svoj račun kako bi opisao sva moguća gi­banja pomoću skupa diferencijalnih jednadžbi koje su otada poznate kao “Newtonove jednadžbe gibanja”. Za­sigurno je najveličanstvenija knjiga iz fizike Newtonova pod nazivom “Philosophiae naturalis principia mathematica” koja je objavljena 1687. go­dine. Tako je započelo matematičko (strogo znanstveno) tretiranje zvučnih pojava (jer riječ akustika u današnjem značenju još nije bila korištena). Kasnije, u 18. i 19. stoljeću Newtonove jednadžbe gibanja su preoblikovane i preformulirane. To su učinili Pierre Laplace, Leonhard Euler, Joseph Lagrange i William Hamilton. Oni su samo povećali analizu prirode pomoću Newtonovih jednadžbi, ali nisu iz­mijenili sadržaj. Laplace je usavršio i utočnio Newtonove proračune to­liko precizno da je uspio objasniti gibanje nebeskih tijela do u detalje. Isto tako objasnio je pojavu plime i oseke. Nadalje, fizičari i matematičari su proširili Newtonove jednadžbe na gibanje tekućina, na titranje žica, ploča, zvona i drugih titrajućih tijela. Ti uspjesi natjerali su fizičare da povjeruju da je sve u stvari mehanika koja se objašnjava Newtonovim zakonom. Tako su Newtonove diferencijalne jednadžbe postale matematički temelj mehaničkog shvaćanja svijeta.

Cristian Huygens je pretpostavio da je zvuk valne prirode (1690. godine). Daniel Bernoulli je 1737. godine uveo prvi put pojam tlaka zraka opisavši ga modelom molekula – čvrstih kug­lica koje udaraju u jediničnu stijenku posude, a kao posljedica nastaje tlak. Nakon toga je Jan Le Rond Alembert 1747. godine postavio diferencijalnu jednadžbu titranja žice koja oblikom sliči valnoj jednadžbi i kao rješenje na­veo zbroj dviju neodređenih funkcija prostornih i vremenskih koordinata. Mi danas znamo da se te funkcije u rješavanju trebaju točno odrediti što se čini uz pomoć rubnih uvjeta. Tako imamo fizikalnu interpretaciju valova koje se kreću u jednom smjeru, pa se od granice odbijaju u suprotnom smjeru, a kao rezultat takvog fi­zikalnog prikaza dobijemo stojni val. Vrlo važno otkriće učinio je Fourier i na taj način zadužio matematiku, fiziku i akustiku. Kako je (pogrešno) tvrdio da svaka realna funkcija može biti izražena njegovim redom natjerao je matematičare da točnije definiraju pojam funkcije. Inače te svoje dopri­nose Fourier je objelodanio 1822. pišući knjigu pod nazivom Analitička teorija topline. Fourier je uzeo razvoj periodičnih procesa na jednostavne harmoničke matematičkim putem. Eksperimentalnu analizu zvuka i razlaganje zvuka u harmonične spektre s pomoću rezonatora i sin­tezu složenog zvuka iz jednostavnih načinio je Herman von Helmholtz. On je i objasnio boju zvuka pomoću viših harmonika, a na osnovu svoje te­orije rezonatora dao je prvu fizikalnu teoriju uha kao slušnog uređaja. Valja objasniti da je Fourier svoje jednadžbe u razvoju načinio tražeći opće rješenje jednadžba vodljivosti topline.

Na kraju treba naročito naglasiti i uvjetovanu povezanost akustike s matematikom i fizikom. S matemati­kom je akustika povezana na mnogo načina. Današnje glazbene ljestvice od 12 tonova svoje postojanje duguju matematici. Matematičkom teorijom lančanih razlomaka dobiveno je da najbolje približenje rješenju problema brojeva optimalnih tonova u oktavi iz­nosi 12. No, to je tako zbog tehničke uvjetovanosti klasičnih glazbenih in­strumenata. Druga dva rješenja broja optimalnih tonova u oktavi iznose: 29 tonova u oktavi (sa 17. tonom kao kvintom) i 41 ton (sa 24. tonom kao kvintom) nisu iskoristivi za klasična glazbala. No, elektronskoj izvedbi nisu nametnute nikakve tehničke poteškoće, pa tzv. mikrotonski skladatelji elektronske glazbe koriste ljestvicu sa 41. mikrotonom. Da bi se odsvirani događaji objasnili akustički, potrebna je pomoć fizike. Poznato je da svaki glazbeni događaj, općenito svaki zvučni događaj, prikazuje jedan događaj koji teče u vremenu. Od svih egzaktnih znanosti samo fizika svako fizikalno svojstvo koje se dade mje­riti okarakterizira na najbolji način tako što gleda njihovu ovisnost o vremenu. Drugim riječima koriste se dijagrami. Fizičar tonove neće prikazati djelomičnim oznakama (npr. ispunjene ili prazne glave nota, nego egzaktno preko duljine vremenskog intervala). Dakle, osim duljine vremenskih intervala uzima se i visina tona, pa se stoga notni zapis prevodi u dijagram gdje je na vertikalnoj osi vi­sina tona, a horizontalnoj osi vrijeme. Pri tom valja kazati da vremenska os ima strogo linearnu podjelu, gdje tra­janju glazbenog događaja točno odgo­vara razmak. Dakle, što dulje trajanje to dulji razmak, ako se gleda s obzi­rom na vremensku os. Međutim, vrlo važno je napomenuti da podjela na osi ne mora biti linearna, nego i logari­tamska, pa jedinični razmaci na toj osi nisu jednake duljine kao kod linearne podjele osi na jedinične intervale. Ta logaritamska podjela ima punu svoju opravdanost kada je riječ o iskazivanju intenziteta i prikazu strahovito velikog raspona intenziteta.

Uz to valja napomenuti da je negdje početkom 20. st. interes za akustiku oslabio, ona se smatrala teoretski i eksperimentalno završenom u području znanosti, a pojavila se i nova znanost muzikologija (1883. god. – G. Adler) koja, uz ostalo, obuhvaća i proučavanje akustike. Sve to pruzročilo je da se akustikom više nisu bitnije bavili matematičari i fizičari. 30-ih godina 20. st. pojavom radija akustika se potpuno povezala s radiotehnikom koja se razvijala u okrilju elektroakustike.

O Vinku Dvoraku

A gdje u svemu tome ima svoje mjesto Hrvatska akustika? Može se reći da je svjetsku slavu kao akustičar koji je živio i radio u Hrvatskoj stekao Vinko Dvorak (1848. – 1922.). On je bio prvi redoviti profesor fizike, na tadašnjem Mudroslovnom fakultetu obnovl­jenog Sveučilišta u Zagrebu od 1875. pa do 1911. Nakon što je doktorirao iz filozofije kod glasovitog Ernsta Macha došao je iz Praga u Zagreb i tako utemeljio katedru za fiziku. Prvo značajno otkriće koje mu je pribavilo veliko međunarodno priznanje bilo je tumačenje pojave nakupljanja čestica praha u čvorovima stojnih zvučnih valova, što se događa u Kundtovoj cijevi vrtložnim strujanjem zraka. Fizičar John Wiliam Strutt, poznatiji kao lord Rayleigh, to otkriće je u svojoj knjizi “The theory of sound” nazvao Dvorak fenomen.

Rayleigh je osam godina poslije Dvorakovim tumačenjima dao teorijsku podlogu te se navedena cirkulacija danas u fi­zici naziva Dvorak-Rayleighova cirkulacija. Teorijska podloga sastoji se u tome da je uz linearni član uvažen još i član drugog reda, pa se usrednjavanjem dobiju sile koje uzrokuju cir­kulaciju zraka. A sve to zbog toga, jer se pojavljuje trenje zraka koji titra sa staklenim stijenkama cijevi. Original­no je i prvo u svijetu Dvorakovo rotacijsko zvučno kolo. Riječ je o nekoliko Helmholzovih rezonatora – staklenih sfera relativno velikog volumena, a malih otvora. Kada se ti rezonatori učvrste na horizontalne prečke o čije se sredine upire vertikalni šiljak do­lazi do rotacije oko vertikalne osi. Iz­nimno je značajno i svjetski ugledno otkriće Dvoraka nazvano Dvorakovo odbijanje rezonatora od izvora zvuka. Dvorak je postao nadaleko poznat i po svom akustičkom radiometru ko­jim je mogao mjeriti intenzitet zvuka. Radiometar se sastojao u obliku probijene pločice kvadratnog ili okruglog presjeka i koji je načinjen tako da se pojača rotacijska pojava.

Vinko Dvorak mnogo se bavio i elektroakustikom, te je načinio više verzija neprigušenih zvučnih vilica koje su bez prekida i istitravanja davale postojane tonove. To posebno dolazi do izražaja da su i dan­as vrlo cijenjeni vibracijski satovi, gdje su vrlo postojane frekvencije dobivene glazbenim vilicama, te svoje dugo tra­janje duguju električnom utjecaju. U svezi s Dvorakom valja naglasiti da je on načinio uređaj za jake tonove s dvije elektromagnetske vilice. Učinio je to tako da se kod vilica titraji potiču i uzdržavaju pomoću dva elektromagneta kroz koje teče ista struja mag­netiziranja isprekidane kontaktom. Naravno, obje vilice su udešene na isti ton. Važno je istaći da je otpornik koji spaja zavojnice obaju elektromagneta tu da bi prigušio iskre kad se struja prekida. Zbog rezonancije između impulsa struje magnetiziranja i titraja viljuške daje viljuška koja počiva na rezonatoru – kutiji vrlo glasan ton.

Rezimirajmo: Dvorak je uz ostalo po­znat po svojim istraživanjima stvaran­ja figura nastalih u prahu u Kundto­voj rezonantnoj cijevi, strujanja zraka u Kundtovoj cijevi (što je poslije teo­retski obradio lord Rayleigh, pa se to zove Dvorak-Rayleighovo strujanje ili cirkulacija, učinak zvuka na male pločice (Dvorakov učinak ili efekt), sila na Helmholtzove rezonatore (Dvorak je konstruirao nekoliko tipova: jedno, dvo, tro i četvero rezonatorskih kola, s okruglim otvorima, a ta su se kola okrenula potaknuta zvukom: Dvo­rakovo zvučno kolo). Dvorak je osno­vao katedru i kabinet za fiziku, a bio je također i dekan Mudroslovnog fakulteta i rektor Sveučilišta u Zagrebu. Izabran je i za pravoga člana Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti.

Studiranje

Prije nego što se ozbiljnije počeo baviti glazbom Franjo Dugan završio je Mudroslovni fakultet Sveučilišta u Zagrebu, studij matematike i fizike u trajanju od osam semestara. Franjo Dugan je studirao matemati­ku i fiziku na Mudroslovnom fakultetu, Sveučilišta u Zagrebu, te upisao i slušao predavanja kod vrsnih preteča hrvatske znanosti, kao što su: prof. dr. Vinko Dvorak (Dušejov, Češka, 1848. – Za­greb, 1922.) prvi profesor fizike na Sve­učilištu u Zagrebu, član JAZU, prof. dr. Gustav Janeček (Češka, 1848. – Zagreb, 1929.), začetnik nastave iz kemije na Sveučilištu u Zagrebu, prof. dr. Vladimir Varićak (Otočac, 1865. – Zagreb,1942.), poznati matematičar i član JAZU, prof. dr. Đuro Arnold (Ivanec, 1853. – Zagreb, 1941.), filozof, pedagog, pjesnik, prvi doktor filozofije (1880.) na Sveučilištu u Zagrebu, redoviti član JAZU od 1899., Karel Zahradnik (Litomyšl, Češka, 1848. – Češka 1919.), matematičar, aka­demik koji je iz Zagreba otišao u Brno 1899. godine. U životu sam nastojao pribaviti što više znanja i vještina da ih mogu razdavati drugima. To je bio ži­votni cilj prof. Franje Dugana.

Franjo dugan

Prema imeniku Mudroslovnog fa­kulteta redovitih slušatelja Kraljevskog sveučilišta Franje Josipa I. u Zagrebu za školsku godinu 1893./94. utvrđeno je da je pod tekućim brojem 5 upisan Franjo Dugan. Isto je tako istaknuto da je Franjo Dugan rođen u mjestu Hrvatska Krapinica kraj Zlatara, a upisan je na Fakultet 26. listopada 1893. na temelju svjedodžbe zrelo­sti zagrebačke gimnazije od 18. srpnja 1892. br. 37. (…)

Posao

Da bi se ozbiljnije shvatilo službovanje, potrebno je istaći da je Franjo Dugan nakon odslušane četiri godine dobio od Mudroslovnog fakulteta apsolutorij. Tada je to bila obveza da bi se mogao prijaviti za učiteljski ispit. Apsolutorij, prema propisima je nazvan odlaznica sa Sveučilišta i rektor i dekan Mudroslovnog fakulteta su tom ispra­vom svjedočili da je Franjo Dugan za­vršio Mudroslovne nauke potvrđujući da se po zakonima vladao, te da je barem tri godine kao redoviti slušatelj Mudroslovnog fakulteta slušao pred­mete svoje struke, iz koje želi ispit po­ložiti. To je u ovom slučaju matematika i fizika. U apsolutoriju je svjedočeno da se uz to bavio naukom filozofije i hrvatskog jezika slušajući barem peda­gogiju, logiku, psihologiju i pregledne knjige o hrvatskom jeziku i literatu­ri, te stekao potrebnu obrazovanost pedagošku i didaktičnu. U pogledu hrvatskog jezika valja istaći da je time bilo pretpostavljeno da Dugan poznaje glavne jezikoslovne zakone, da je po­vijest hrvatske i srpske književnosti proučio iz knjiga, da je čitao spomeni­ke narodne književnosti po tradiciji, a isto tako i prve pisce Hrvatske najnovi­jeg doba. Taj apsolutorij je na taj način donekle zamjenjivao danas opće po­znati diplomski ispit. Moglo bi se reći da je nakon što je kandidat položio is­pit za gimnazijsko i realačko učiteljstvo tek tada dobio dokumenat koji bi se u formalnom smislu mogao današnjim rječnikom nazvati diplomom. Da je to tako, potvrđuje i izbor Dugana za pravoga člana JAZU 1921. godine, kada ga je Dragutin Domjanić predložio za pravoga člana JAZU, a kao formalnu kvalifikaciju na prvo mjesto istaknuo profesorski ispit iz matematike i fizike, položen u Zagrebu 7. svibnja 1922. godine. Franjo Dugan je čak 23 godine radio kao profesor u gimnazijama predavajući uglavnom fiziku i manje matematiku. (…)

Franjo Dugan kao akustičar

a) O knjizi Nauk o glasbalima

Franjo Dugan je kao akustičar napisao knjigu Nauk o glasbalima s osobitim osvrtom na orgulje. Knjiga je izaš­la u Zagrebu 1944. godine u izdanju Nakladnog odjela hrvatske državne tiskare. Ima 312 stranica, a na sadržaj otpada 285 stranica. Od toga na or­gulje otpada 125 stranica (od stranice 144. do 268.). U knjizi je opisano kako nastaje ton. Postanak tona u svirali objašnjen je preko pojma stojnih valo­va (kod otvorene i zatvorene svirale). Dugan je pisao o udešavanju svirala i o jezičnim sviralama. Na jezične svirale je stavljena cijev koja služi kao rezonator (cilindrična ili čunjasta cijev koja je prema gore šira). Sutitranje u rezonatoru bilo bi najpovoljnije kad bi vlastiti ton rezonatora bio iste visine kao i ton jezičca. Radi toga bi rezonator za frekvenciju 64 Hz morao imati dužinu 8 stopa, tj. 250 cm. No svaka masa, radi svoje tromosti, usporava brzinu, pa stupac zraka neće biti visok 250 cm, nego samo 160 cm. A onaj za 128 Hz bit će dug 80 cm umjesto 125 cm.

Na str. 254. Dugan ističe da su or­gulje instrument nad instrumentima (instrumentum instrumentorum). Na str. 67. ističe kao važan podatak da su konstrukciju tamburice dali Hrvati, tehniku izvođenja osnovali su Hrvati, a tamburaški zbor osnovani su glazbe­nici koji su bili Hrvati. Može se mirne duše reći i posve opravdano da je tam­burica hrvatsko narodno glazbalo. U predgovoru knjige je naglašeno da je djelovanje pojedinih glazbala obrazloženo koliko god je bilo moguće princi­pima akustike. I to zato je samo na taj način možemo uvidjeti što od nekoga instrumenta, njegova graditelja i svira­ča možemo, a što ne smijemo zahtije­vati i to stoga jer je stvar akustički ne­moguća. Treba naglasiti da je ta knjiga pisana bez upotrebe matematike.

b) O rukopisu Akustika

Taj se rukopis sastoji od dvije radne i završne radne verzije. Čuva se u Državnom arhivu u Zagrebu kao 5 jedinica unutar osobnog fonda Franje Dugana. S obzirom na sadržaj u njima očito je da je taj rukopis nastajao dulje vrijeme, otprilike nekoliko godina, a završen je 1943. godine.

Jedna radna verzija ima 47 listova rukom pisanih veličine malo veće od današnjeg A5 formata. U toj verziji Dugan tumači ljestvice (Pitagorejske i harmonijske) te iznosi razlike među nji­ma. Znanstvenu podlogu te verzije čini upotreba matematičke metode izlaganja kada Dugan omjer his3/ C4 razvije u verižne (lančane) razlomke. Raspravlja se i kromatskoj ljestvici i matematički (po­moću zrcalne simetrije) izlaže stav da se dur i mol trozvuci odnose kao predmet i slika.

Za glazbenike istančanija sluha matematičkim se sredstvima, upotre­bom eksponencijalnih funkcija, pokazu­je da bi između C i D tipke klavira moglo stati još 8 tipaka pa da ljudi s istančanim sluhom razlikuju odsvirane tonove. Dugan u rukopisu iznosi pojedinosti u svezi s parcijalnim tonovima i udarima povezujući to sa sviralama i limenim instrumentima. Dugan tumači i kombinacijske tonove prvog i drugog reda, a objašnjava i važni pojam diferencijal­nog tona. Ističe i primjenu pojave udara kod ugađanja glazbenih instrumenata. Druga radna verzija ima 51 stranicu na kojima su crna slova otisnuta pisaćim strojem a format stranica je malo veći od današnjeg A4. Uz tu originalnu verziju nalaze se i dva duplikata od po 51 stranicu svaki na kojima su slova otisnuta plavom bojom (vjerojatno od indigo papira). Ta verzija je bogatija od rukopisne verzije za fizikalni pristup zvučnom doživljaju koji se sastoji od tri čimbenika (izvor zvuka, sredstvo širenja i datektor – najbolje naše uho, kada je glazba u pitanju). Dalje se prelazi na matematičko-fizikalni opis oscilacija (titranja) i nastanka putujućih i stojnih valova.

Završna verzija sastoji se od jednog origina­la (67 stranica) formata malo većeg od današnjeg A4 u kome je tekst otisnuta pisaćim strojem (crni otisak) a potom ispravljana rukom. Tekst je pisan s najmanjim razmakom između redaka. Matematički dio te verzije pisan je ru­kom. Uz taj original dolaze i tehnički dotjerani crteži sinusoidalnih putujućih valova, stojnih valova i longitudinalnog vala čiji prikaz se postiže konstrukcijom iz transverzalnog sinusoidalnog vala. Uz taj original nalazi se i jedna kopija (prijepis) originala otisnut indigo plavom bojom, a koji je također ispravljan rukom. U ori­ginalu završne verzije, nakon fizikalnog uvoda, Dugan prilogođava izneseno glazbenicima tako što im određeni ton, uz navođenje pripadajuće frekvenci­je, predočava odgovarajućim notnim zapisom na notnom crtovlju. Ulazi u potanko objašnjenje pojma ophodnog vremena i faze oscilacije uspoređujući titranje harmoničkog oscilatora koje se odigrava na jednom pravcu (što je u stvari nejednoliko promjenljivo gibanje zbog promjenljive elastične sile) s jed­nolikim gibanjem po periferiji kruga. Nakon toga prelazi na postanak tran­sverzalnog putujućeg vala i matematički izvodi jednadžbu tog vala. Zatim prelazi na odbijanje valova i daje tumačenje po­stanka stojnog vala uz koji daje i poseb­no grafičko tumačenje (uz slike). Poseb­no naglašava fizikalne razlike između putujućeg i stojnog vala, a matematički izvodi jednadžbu stojnog vala. Posebno se osvrće i na longitudinalni val kod ko­jeg čestice zraka titraju u smjeru širenja titranja (kod transverzalnog okomito na smjer širenja).

Dugan dalje nastavlja objašnjavati visinu tona, prelazi na dur ljestvicu i glazbene intervale. Opisuje i titranje žice navodeći formulu za fre­kvenciju titranja i objašnjavajući posta­nak tonova koje sve predočava notnim pismom. Naglašava razliku u postanku tona između onog nastalog dodirom prstiju titrajuće žice na određenim udaljenostima i onog nastalog klizanjem gu­dala po žici. Dugan objašnjava i razliku između parcijalnih i alikvotnih tonova. Parcijalni tonovi se broje od osnovnog (najniže frekvencije – koji je prvi – ozna­ka n), pa dolazi drugi (2 n titraja), treći (3 n titraja)… dok se alikvotni tonovi (današnjim znanstvenim terminom nazvani viši harmonici) broje od prvo­ga (2 n titraja) pa se prelazi na drugi (3n titraja), treći (4 n titraja) i tako redom. Uz to, Dugan daje i teorijsko tumačenje titranja žice izvodeći diferencijalnu jed­nadžbu gibanja žice i povezuje to s pu­tujućim valovima.

Na kraju toga dijela daje Bernoullijev oblik rješenja diferen­cijalne jednadžbe uz naznaku da je to za glazbene probleme najpodesniji oblik i to rješenje (potpuni integral) podcrtava principom superpozicije jednostavnih titranja odnosno valova. Dugan potom prelazi na titranje štapića, uvodeći bitne pojmove sutitranja i rezonancije (koju povezuje s pojmom prisilnog titranja) i proširuje te pojmove na titranje ploča. Konačno, na 27. stranici prelazi i na svi­rale koje detaljno tumači. Spomenute tonove oslikava notama na notnom crtovlju. Povezuje visinu tona svirale s širinom svirale i temperaturom te sve prati egzaktno matematičkim izrazom, a nastavlja tako i kod tumačenja pojma brzine zvuka.

Nakon toga osvrće se i na udešavanje svirala. Tu se Dugan pojav­ljuje i kao tvorac hrvatskih termina za njemačke izraze koje u tekstu citira. Op­sežno obrađuje i pojmove menzure svi­rale i boju zvuka. Osvrće se i na registre sa zatvorenim sviralama i opisuje poku­se s orguljama na čak dvije strane (35. i 36.) koristeći se stručnim izrazima i opa­skom o njemu dobro poznatim orgulja­ma zagrebačke katedrale (firme Walcker). Dugan iznosi i Topferovo izvođenje zakona za pad proreza svirale u jednom registru a nakon toga naročito naglašava ulogu materijala od kojeg je načinjena svirala. Potom prelazi na svirale s jezičcem i naglašava poteškoće u građenju tih svirala dajući objašnjenje kako se tuma­čenje toga dade samo skicirati. Nastavlja opisom i tumačenjem orkestralnih puhaćih instrumenata na četiri strane (43., 44., 45. i 46.), limenih instrumenata na više od četiri strane (47., 48., 49., 50. i dio 51. stranice), da bi na 51. stranici prešao na opis i tumačenje ljudskog grla, nasta­nak tona i analizu i sintezu vokala. Tu je spomenuo i velikog H. v. Helmholtza i njegovu analizu vokala. Nakon toga, na 56. stranici, prelazi na čovječje uho i daje detaljni opis građe i funkcije uha. Dugan iznosi i neke pokuse na klaviru. Na str. 59. ističe i teoriju slušanja osobito se osvrnuvši na H. v. Helmholtzovu teoriju slušanja osnovanu na pojavama sutitranja i rezonancije. Daje osvrt i na pojam jakosti zvuka izvodeći formulu za jakost u ovisnosti od udaljenosti. Na kraju tog rukopisa Dugan na str. 63. – 67. daje detaljno tumačenje značajnog fizikalnog pojma interferencije i udara naglašavajući da udari mogu vrlo dobro poslužiti kod udešavanja orgulja.

Na kraju istaknimo i to da je Franjo Dugan sudjelovao, kao jedan od osmori­ce srednjoškolskih profesora matemati­ke u raspravama priznatih stručnjaka, na poziv vlade. Riječ je bila o uvođenju nove naučne osnove za matematiku u gimnazijama i realnim gimnazijama i reformi mjerstvenog crtanja i opisnog mjerstva u realnim gimnazijama. Povezanost Dvoraka i Dugana iskazana je i tada kada je Dvorakov nasljednik Hondl ispitivao Duganu sluh koristeći se Dvorakovim akustičkim aparatima. O tome je govo­rio pokojni prof. Vatroslav Lopašić. U svezi akustike valja primijetiti da je i prije tog Duganova rukopisa bilo pisanja o akustici na hrvatskom jeziku. To je uči­nio Oton Kučera koji je u knjizi Valovi i zrake od 1903. godine, izdanje Matice Hrvatske, u II. poglavlju pod nazivom “Zvučni valovi i zvuk uopće” s lakoćom pisao znanstveno popularnim stilom o akustici i to namijenio najširim sloje­vima hrvatskog naroda. No, to ipak nije bio znanstveni prikaz budući da je na stranicama od 43. do 151. Kučera pisao na način da uopće nije koristio egzaktne matematičke izraze.

Članak dr. Branka Hanžeka izvorno je objavljen u časopisu Sveta Cecilija: časopis za sakralnu glazbu. Prenosimo u skraćenom obliku s odobrenjem uredništva časopisa. Sva prava pridržana.